Las matemáticas ( alto alemán de Alemania Occidental : [ matemaˈtiːk ], [ matemaˈtik ]; alto alemán austriaco : [ mateˈmaːtik ]; [1] griego antiguo μαθηματικὴ τέχνη mathēmatikē téchnē 'el arte de aprender ') es una ciencia formal que consiste en el estudio de figuras geométricas y aritmética creada con números . No existe una definición generalmente aceptada de matemáticas. ; hoy se suele describir como una ciencia que utiliza la lógica para examinar las propiedades y patrones de estructuras abstractas creadas por definiciones lógicas .
.png)
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas. Floreció antes de la antigüedad en Mesopotamia , India y China , más tarde en la antigüedad en Grecia y el helenismo . De ahí datan la orientación hacia la tarea de "demostración puramente lógica" y la primera axiomatización , a saber, la geometría euclidiana . En la Edad Media , sobrevivió independientemente en el humanismo primitivo de las universidades y en el mundo árabe.
En el período moderno temprano , François Viète introdujo variables y René Descartes abrió un enfoque matemático de la geometría mediante el uso de coordenadas . La consideración de tasas de cambio ( fluxiones ), así como la descripción de tangentes y la determinación de áreas (“cuadratura”) condujo al cálculo infinitesimal de Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton . La mecánica de Newton y su ley de la gravitación continuaron siendo una fuente de problemas matemáticos pioneros como el desproblema de los tres cuerpos .
Otro problema clave del período moderno temprano fue resolver ecuaciones algebraicas cada vez más complicadas. Para hacer frente a esto, Niels Henrik Abel y Évariste Galois desarrollaron el concepto de grupo , que describe las relaciones entre las simetrías de un objeto. El álgebra más reciente y, en particular, la geometría algebraica pueden considerarse como una mayor profundización de estas investigaciones.
Una idea entonces nueva en la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat en 1654 condujo a la solución de un viejo problema para el que había otras soluciones, aunque controvertidas. La correspondencia es vista como el nacimiento de la teoría clásica de la probabilidad. Las nuevas ideas y procesos conquistaron muchas áreas. Pero a lo largo de los siglos, la teoría clásica de la probabilidad se dividió en escuelas separadas. Los intentos de definir explícitamente el término "probabilidad" solo tienen éxito en casos especiales. Solo la publicación del libro de texto de Andrei Kolmogorov Conceptos básicos de cálculos de probabilidaden 1933 completó el desarrollo de los fundamentos de la teoría de la probabilidad moderna, véase también Historia de la teoría de la probabilidad .
En el transcurso del siglo XIX, el cálculo encontró su forma estricta actual a través del trabajo de Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstraß . La teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor a finales del siglo XIX también es parte integral de las matemáticas actuales, aunque inicialmente dejó claro a través de las paradojas del concepto ingenuo de conjuntos los fundamentos inciertos sobre los que se asentaron las matemáticas anteriormente.
El desarrollo de la primera mitad del siglo XX estuvo influenciado por la lista de 23 problemas matemáticos de David Hilbert . Uno de los problemas era tratar de axiomatizar completamente las matemáticas; al mismo tiempo hubo fuertes esfuerzos hacia la abstracción, es decir, el intento de reducir los objetos a sus propiedades esenciales. Entonces, Emmy Noether desarrolló los conceptos básicos del álgebra moderna, Felix Hausdorff la topología general como la investigación de los espacios topológicos , Stefan Banach probablemente el concepto más importante del análisis funcional , el espacio de Banach lleva su nombre. Un nivel aún más alto de abstracción, un marco común para considerar construcciones similares de diferentes áreas de las matemáticas, eventualmente creó la introducción de la Teoría de Categorías por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane .
La siguiente lista ofrece una descripción cronológica inicial de la amplitud de los temas matemáticos:
Las matemáticas numéricas , que proporcionan algoritmos para resolver problemas continuos concretos de muchas de las áreas antes mencionadas y las examinan, están un poco fuera de la lista .
También se hace una distinción entre matemáticas puras, también conocidas como matemáticas teóricas , que no se ocupan de aplicaciones no matemáticas, y matemáticas aplicadas como las matemáticas actuariales y la criptología . Las transiciones en las áreas recién mencionadas son fluidas.
La característica de las matemáticas sigue siendo la forma en que progresan a través del procesamiento de problemas "realmente demasiado difíciles".
Una vez que un estudiante de primaria haya aprendido a sumar números naturales, podrá comprender y tratar de responder la siguiente pregunta: "¿Qué número debe sumarse a 3 para obtener 5?" Pero la solución sistemática de tales problemas requiere la introducción de un nuevo concepto: resta. Entonces, la pregunta se puede reformular como: "¿Cuánto es 5 menos 3?" Pero una vez que se define la resta , también se puede hacer la pregunta: "¿Cuánto es 3 menos 5?", que se refiere a un número negativo y, por lo tanto, ya es más elemental . matemáticas de la escuela lleva a cabo.
Así como en este ejemplo elemental de aprendizaje individual, las matemáticas también han progresado en su historia: en cada nivel alcanzado, es posible plantear problemas bien definidos que requieren medios mucho más sofisticados para resolverlos. A menudo han pasado muchos siglos entre la formulación de un problema y su solución, y con la solución del problema finalmente se fundó una subárea completamente nueva: en el siglo XVII, los problemas que habían estado abiertos desde la antigüedad podían resolverse con cálculo infinitesimal. .
Incluso una respuesta negativa, la prueba de la irresolubilidad de un problema, puede hacer avanzar las matemáticas: así es como surgió la teoría de grupos de los intentos fallidos de resolver ecuaciones algebraicas.
Desde finales del siglo XIX, esporádicamente desde la antigüedad , las matemáticas se han presentado en forma de teorías que parten de enunciados que se dan por ciertos; de esto se derivan luego otros enunciados verdaderos. Esta derivación tiene lugar de acuerdo con reglas de conclusión definidas con precisión . Los enunciados con los que comienza la teoría se llaman axiomas , y los que se derivan de ellos se llaman proposiciones . La derivación en sí misma es una prueba del teorema. En la práctica, las definiciones siguen desempeñando un papelun rol, a través del cual se introducen y especifican términos matemáticos reduciéndolos a otros más fundamentales. Debido a esta estructura de las teorías matemáticas se les llama teorías axiomáticas.
Por lo general, se exige a los axiomas de una teoría que estén libres de contradicciones, es decir, que una oración y la negación de esta oración no sean verdaderas al mismo tiempo. Sin embargo, esta consistencia en sí misma generalmente no puede probarse dentro de una teoría matemática (esto depende de los axiomas utilizados). Como resultado, la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , que es fundamental para las matemáticas modernas, no puede probarse sin la ayuda de suposiciones adicionales.
Los temas tratados por estas teorías son estructuras matemáticas abstractas, que también están definidas por axiomas. Mientras que en las otras ciencias se dan los objetos tratados y luego se crean los métodos para examinar estos objetos, en matemáticas se da el método y sólo después se crean los objetos que se pueden examinar con él. De esta forma las matemáticas ocupan y ocupan siempre un lugar especial entre las ciencias.
El mayor desarrollo de las matemáticas, por otro lado, a menudo sucedió y sucede a través de colecciones de teoremas, demostraciones y definiciones que no están estructuradas axiomáticamente, sino que están formadas principalmente por la intuición y la experiencia de los matemáticos involucrados. La transformación en teoría axiomática sólo se produce más tarde, cuando otros matemáticos se ocupan de las ideas que ya no son tan nuevas.
Alrededor de 1930, Kurt Gödel presentó el teorema de incompletitud que lleva su nombre , el cual establece que en todo sistema de axiomas de la lógica clásica que permite probar ciertos enunciados sobre números naturales, hay enunciados que son tan improbables como su negación, o el sistema en sí mismo es contradictorio.
Las matemáticas utilizan un lenguaje muy compacto para describir hechos, que se basa en términos técnicos y, sobre todo, en fórmulas. Consulte la Lista de símbolos matemáticos para obtener una representación de los símbolos utilizados en las fórmulas . Una característica especial de la terminología matemática es la formación de adjetivos derivados de los nombres de matemáticos, como pitagórico , euclidiano, euleriano , abeliano , noetheriano y artiniano .
.png)
Las matemáticas son aplicables en todas las ciencias que estén suficientemente formalizadas . Esto da como resultado una estrecha interacción con las aplicaciones en las ciencias empíricas. Durante muchos siglos, las matemáticas se han inspirado en la astronomía , la geodesia , la física y la economía y, a la inversa, sirvieron de base para el progreso de estas materias. Por ejemplo, Newton desarrolló el cálculo infinitesimal para captar matemáticamente el concepto físico de "fuerza igual a cambio de momento". Solow desarrolló un modelo económicodel crecimiento de una economía, que constituye la base de la teoría neoclásica del crecimiento hasta el día de hoy. Fourier sentó las bases del concepto moderno de función mientras estudiaba la ecuación de onda , y Gauss desarrolló el método de los mínimos cuadrados y sistematizó la solución de los sistemas de ecuaciones lineales como parte de su trabajo con la astronomía y la agrimensura. Del estudio inicial de los juegos de azar surgió la estadística que es omnipresente en la actualidad.
Por el contrario, los matemáticos a veces han desarrollado teorías que solo más tarde encontraron sorprendentes aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la teoría de los números complejos , que surgió ya en el siglo XVI, ahora se ha vuelto indispensable para la representación matemática del electromagnetismo . Otro ejemplo es el cálculo de forma diferencial tensorial , que Einstein utilizó para la formulación matemática de la teoría general de la relatividad . Además, tratar con la teoría de los números se consideró durante mucho tiempo un truco intelectual sin uso práctico, sin el cual la criptografía moderna sería hoyy sus diversas aplicaciones en Internet son impensables.
.png)
La cuestión de a qué categoría de ciencias pertenecen las matemáticas ha sido objeto de controversia durante mucho tiempo.
Muchas preguntas y conceptos matemáticos están motivados por cuestiones relacionadas con la naturaleza, por ejemplo, de la física o la ingeniería , y las matemáticas se utilizan como ciencia auxiliar en casi todas las ciencias naturales. Sin embargo, no es en sí misma una ciencia natural en el verdadero sentido, ya que sus declaraciones no dependen de experimentos u observaciones. Sin embargo, en la filosofía de las matemáticas más reciente , se supone que la metodología de las matemáticas también corresponde cada vez más a la de las ciencias naturales. Siguiendo a Imre Lakatosse sospecha un "renacimiento del empirismo", después del cual los matemáticos también establecen hipótesis y buscan confirmación para ellas.
Las matemáticas tienen similitudes en método y contenido con la filosofía ; por ejemplo, la lógica es un área de superposición entre las dos ciencias. Uno podría contar las matemáticas entre las humanidades , [2] pero la clasificación de la filosofía también está en disputa.
También por estas razones, algunos clasifican las matemáticas, junto con otras disciplinas como la informática , como una ciencia estructural o ciencia formal .
En las universidades alemanas , las matemáticas suelen pertenecer a la misma facultad que las ciencias naturales, por lo que los matemáticos suelen obtener el título académico de Dr. re. por supuesto (Doctor en Ciencias) otorgado. Por el contrario, en el mundo de habla inglesa, los graduados universitarios reciben los títulos de "Bachelor of Arts" o "Master of Arts", que en realidad se otorgan a los estudiosos de humanidades.
.png)
Las matemáticas tienen un papel especial entre las ciencias en cuanto a la validez de sus conocimientos y el rigor de sus métodos. Por ejemplo, mientras que todos los hallazgos científicos pueden ser falsificados por nuevos experimentos y, por lo tanto, en principio son provisionales, las declaraciones matemáticas se producen por separado o se remontan entre sí mediante operaciones mentales puras y no necesitan ser verificables empíricamente .ser reconocido En este sentido, las proposiciones matemáticas son en principio verdades finales y universales, por lo que las matemáticas pueden ser consideradas la ciencia exacta. Es precisamente esta exactitud lo que resulta tan fascinante de las matemáticas para muchas personas. Como dijo David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900:
"Discutiremos brevemente qué requisitos generales justificados deben hacerse de la solución de un problema matemático: quiero decir sobre todo que es posible demostrar la corrección de la respuesta por un número finito de conclusiones, y que sobre la base de un número finito de requisitos previos, que se encuentran en el problema y que deben formularse con precisión cada vez. Esta exigencia de deducción lógica mediante un número finito de conclusiones no es otra cosa que la exigencia de rigor en la prueba. En efecto, la exigencia de rigor, que, como es bien sabido, se ha vuelto proverbial en matemáticas, corresponde a una necesidad filosófica general de nuestra mente, y por otro lado, es sólo a través de su cumplimiento que el contenido intelectual y la fecundidad del problema cobran sentido. Un problema nuevo, especialmente cuando proviene del mundo de las apariencias externas, es como un arroz joven, que sólo crece y da frutos si se injerta en el tronco viejo, el acervo seguro de nuestro conocimiento matemático, con cuidado y según el jardinero. reglas estrictas del arte se convierte en ".[3]
Joseph Weizenbaum del Instituto Tecnológico de Massachusetts llamó a las matemáticas la madre de todas las ciencias.
"Pero sostengo que en cada ciencia natural particular solo se puede encontrar tanta ciencia real como matemáticas hay en ella".
Las matemáticas son, por lo tanto, también una ciencia acumulativa. Hoy existen más de 2000 revistas matemáticas. Sin embargo, esto también conlleva un peligro: las áreas matemáticas más nuevas relegan a un segundo plano las áreas más antiguas. Además de declaraciones muy generales, también hay declaraciones muy específicas para las que no se conoce una generalización real. Donald E. Knuth escribe sobre esto en el prólogo de su libro Matemáticas concretas:
.jpg/1280px-Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley's_first_English_version_of_Euclid's_Elements,_1570_(560x900).jpg)
“El título del curso 'Matemáticas concretas' se pensó originalmente como un antídoto para las 'Matemáticas abstractas', ya que los resultados clásicos concretos estaban siendo eliminados rápidamente del currículo matemático moderno por una nueva ola de ideas abstractas, popularmente llamadas 'Nuevas matemáticas'. Las matemáticas abstractas son un tema maravilloso y no tienen nada de malo: son bellas, generales y útiles. Pero sus adherentes se habían engañado pensando que el resto de las matemáticas era inferior y ya no merecía atención. El objetivo de la generalización se había puesto tan de moda que una generación de matemáticos se había vuelto incapaz de saborear la belleza en lo particular, de disfrutar el desafío de resolver problemas cuantitativos o de apreciar el valor de la técnica. Las matemáticas abstractas se estaban volviendo endogámicas y perdían contacto con la realidad;
“El título del evento 'Matemáticas concretas' se pensó originalmente como un contrapunto a 'Matemáticas abstractas', porque los logros concretos y clásicos estaban siendo eliminados de los planes de estudios a un ritmo acelerado por una nueva ola de ideas abstractas, comúnmente llamadas 'Nuevas Matemáticas se sonrojó. Las matemáticas abstractas son maravillosas y no tienen nada de malo: son bellas, universales y útiles. Pero sus seguidores llegaron a la opinión errónea de que el resto de las matemáticas era inferior y ya no valía la pena señalarlas. El objetivo de la generalización se puso tan de moda que toda una generación de matemáticos fue incapaz de discernir la belleza en particular, percibir el desafío de resolver problemas cuantitativos o apreciar el valor de las técnicas matemáticas. Las matemáticas abstractas se volvieron autogiratorias y perdieron el contacto con la realidad; era necesario un contrapeso concreto en la educación matemática para restablecer un equilibrio estable.”
La literatura matemática más antigua es, por lo tanto, de particular importancia.
El matemático Claus Peter Ortlieb critica el uso, en su opinión, insuficientemente reflejado de las matemáticas modernas:
“Tienes que darte cuenta de que existen limitaciones para capturar el mundo a través de las matemáticas. La suposición de que funciona únicamente de acuerdo con las leyes matemáticas significa que uno solo busca estas leyes. Por supuesto que también los encontraré en las ciencias naturales, pero tengo que ser consciente de que estoy mirando el mundo a través de lentes que ocultan grandes partes desde el principio. […] Hace tiempo que el método matemático ha sido adoptado por científicos de casi todas las disciplinas y se utiliza en todo tipo de áreas donde en realidad no tiene cabida. […] Los números siempre son cuestionables cuando conducen a la estandarización, aunque nadie puede entender cómo surgieron los números.” [4]
El Año de la Ciencia , que se lleva a cabo anualmente por el Ministerio Federal de Educación e Investigación (BMBF) desde 2000, fue 2008 el Año de las Matemáticas .
Las matemáticas juegan un papel importante en la escuela como materia obligatoria . La didáctica de las matemáticas es la ciencia que se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Los grados 5-10 se enfocan en aprender habilidades numéricas. En las escuelas de gramática alemanas, el cálculo diferencial e integral, así como la geometría analítica / álgebra lineal se introducen en los grados superiores, es decir, desde la clase 11, y se continúa con la estocástica.
El concurso canguro de matemáticas ha sido muy utilizado en las escuelas : el número de participantes pasó de 200 en 1995 a 968.000 en 2019. Se trata de un concurso de opción múltiple con acertijos, tareas aritméticas y adivinanzas que son, sobre todo, divertidas y deben despertar el interés por matemáticas. Las tareas no requieren una justificación por escrito. [5]
Las personas que están involucradas profesionalmente en el desarrollo y la aplicación de las matemáticas se llaman matemáticos .
Además de los estudios de matemáticas, en los que puedes centrarte en las matemáticas puras y/o aplicadas, en los últimos tiempos se han instaurado cada vez más cursos interdisciplinares como las matemáticas industriales , las matemáticas empresariales , las matemáticas informáticas o las biomatemáticas . Además, la enseñanza en escuelas secundarias y universidades es una profesión matemática importante. En las universidades alemanas, como parte del proceso de Bolonia , el diploma se convirtió en cursos de licenciatura / maestría . Cierto número de horas semestrales por semanaLos futuros informáticos , químicos , biólogos , físicos , geólogos e ingenieros también deben tomarlos .
Los empleadores más comunes para los matemáticos son las compañías de seguros , los bancos y las consultorías de gestión , especialmente en el área de modelos financieros matemáticos y consultoría, pero también en el área de TI. Además, los matemáticos están empleados en casi todas las industrias.
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas y también una ciencia experimental. Estos dos aspectos pueden ilustrarse muy bien en museos y colecciones históricas.
La institución más antigua de este tipo en Alemania es el Salón Matemático-Físico de Dresde, fundado en 1728. El Arithmeum en Bonn en el Instituto de Matemáticas Discretas se remonta a la década de 1970 y se basa en la colección de dispositivos informáticos del matemático Bernhard Korte . El Heinz Nixdorf MuseumsForum (abreviatura "HNF") en Paderborn es el museo alemán más grande para el desarrollo de la tecnología informática (especialmente la computadora), y las matemáticas en Gießen fueron fundadas en 2002 por Albrecht Beutelspacher y él las está desarrollando constantemente. Rudolf Taschner 's se encuentra en el barrio de los museos de Vienadirigió Math.space , que muestra las matemáticas en el contexto de la cultura y la civilización.
Además, numerosas colecciones especiales se encuentran en las universidades, pero también en colecciones más completas, como en el Deutsches Museum de Múnich o en el Museo de Historia de la Tecnología de Berlín (computadora desarrollada y construida por Konrad Zuse ).
Se pueden encontrar los siguientes aforismos de personalidades conocidas: [6]
.jpg){kind=link}